Ο Begay γεννήθηκε στην Τούμπα Σίτι της Αριζόνα, στις 11 Ιανουαρίου 1954. Μεγάλωσε στην κράτηση των Ναβάχο, όπου έμαθε για την παραδοσιακή κουλτούρα των Ναβάχο από τους γονείς και τους παππούδες του. Ο Begay άρχισε να σχεδιάζει και να ζωγραφίζει σε νεαρή ηλικία και σύντομα συνειδητοποίησε ότι είχε ταλέντο στην τέχνη.
Μετά την αποφοίτησή του από το γυμνάσιο, ο Begay σπούδασε τέχνη στο Ινστιτούτο Αμερικανικών Ινδικών Τεχνών στη Σάντα Φε του Νέου Μεξικού. Στη συνέχεια φοίτησε στο Πανεπιστήμιο της Αριζόνα, όπου απέκτησε πτυχίο Bachelor of Fine Arts.
Οι πίνακες του Begay απεικονίζουν μια ποικιλία θεμάτων, συμπεριλαμβανομένων των τελετών, των τελετουργιών και της καθημερινής ζωής των Ναβάχο. Το έργο του χαρακτηρίζεται από τα ζωηρά χρώματα, τα περίπλοκα μοτίβα και την έντονη αίσθηση πνευματικότητας. Οι πίνακες του Begay έχουν επαινεθεί για την ομορφιά τους, την πολιτιστική τους σημασία και την ικανότητά τους να αποτυπώνουν την ουσία της ζωής των Ναβάχο.
Το έργο του Begay έχει εκτεθεί σε μουσεία και γκαλερί σε όλο τον κόσμο, όπως το Smithsonian Institution, το Heard Museum και το Museum of Modern Art. Έχει επίσης λάβει πολλά βραβεία, όπως το National Endowment for the Arts Fellowship, το Arizona Governor's Arts Award και τα Native American Art Awards.
Το έργο του Begay συνεχίζει να εμπνέει και να εκπαιδεύει τους θεατές για την κουλτούρα των Ναβάχο. Θεωρείται ένας από τους σημαντικότερους ιθαγενείς Αμερικανούς καλλιτέχνες της γενιάς του.
Ο Begay πέθανε από καρκίνο στις 17 Αυγούστου 2012, στην πόλη Τούμπα της Αριζόνα. Ήταν 58 ετών.