Γεννήθηκε στο νησί Bequia, Saint Vincent, και έλαβε αποικιακή δημοτική εκπαίδευση. Το 1930, ο Πάλμερ έλαβε υποτροφία για να παρακολουθήσει το γυμνάσιο στο Λονδίνο. Με επιπλέον υποτροφίες, συνέχισε τις σπουδές του στην ιατρική στο Πανεπιστήμιο του Μπέρμιγχαμ, αποφοιτώντας το 1941.
Επέστρεψε στις Δυτικές Ινδίες και εργάστηκε στην Τζαμάικα, στο Τρινιντάντ και Τομπάγκο και στην Αγία Λουκία. Το 1950, ο Palmer επέστρεψε στο Saint Vincent για να εξασκηθεί. Το 1954, ο Πάλμερ συνίδρυσε το Λαϊκό Πολιτικό Κόμμα (PPP) και εξελέγη νομοθέτης στο Νομοθετικό Συμβούλιο. Το 1967 εξελέγη Πρωθυπουργός.
Το 1979, ο Πάλμερ οδήγησε τον Άγιο Βικέντιο και τις Γρεναδίνες στην ανεξαρτησία από το Ηνωμένο Βασίλειο. Την ίδια χρονιά ανακηρύχθηκε ιππότης από τη βασίλισσα Ελισάβετ Β'.
Το 1984, ο Πάλμερ αποσύρθηκε από την πολιτική και τον διαδέχθηκε ως πρωθυπουργός ο Τζέιμς Φιτζ-Άλεν Μίτσελ. Πέθανε στα 92α γενέθλιά του.